Question

докажите неравенство (a+b)(b+c)(a+c)>abc,где a,b,c неотрицательные числа

срочнооооооо помогите пж к р​

Answer 1

$\forall x,y>0, x,y\in R\: x+y>x+0=x$

Тогда

$a+b>a,\:b+c>b,\:a+c>c\\ a,\:b,\:c>0=>a+b,\:b+c,\:a+c>0$

Значит неравенства можно перемножать:

$(a+b)(b+c)(a+c)>abc$

Ч.т.д.

_____________________________

2 способ

$\forall x, y>0, x,y\in R \:\:\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

Тогда $a+b\geq 2\sqrt{ab}>\sqrt{ab}\\ a+c\geq 2\sqrt{ac}>\sqrt{ac}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}>\sqrt{bc}$

$a,\:b,\:c>0=>a+b,\:b+c,\:a+c>0$

Значит неравенства можно перемножать:

$(a+b)(a+c)(b+c)>\sqrt{abacbc}=abc$

Ч.т.д.