Question

Агрохозяйство имеет два засеянных пшеницей поля одинаковой площади. В агрохозяйстве есть комбайны двух классов: А и В. У всех комбайнов одного класса производительность одинаковая. Одновременно 5 комбайнов класса А приступили к уборке урожая с первого поля, а 5 комбайнов класса В - со второго поля. Когда была убрана четверть первого поля, с него 2 комбайна класса А были переброшены на уборку второго поля. а когда было убрано три четверти второго поля, со второго поля 3 комбайна класса В были переброшены на уборку первого поля. В результате, уборка урожая с этих полей закончилась одновременно.
Как относятся производительности комбайнов класса А и класса В?

Answer 1

Пусть А и В - производительности комбайнов, S - площадь поля, t1 - время уборки 5 комбайнами типа А первой четверти поля, t2 - время работы 2 комбайнов типа А и 5 комбайнов типа В на 2ом поле, начиная переходом комбайнов типа А с 1ого поля и заканчивая уборкой трех четвертей 2ого поля, t3 - оставшееся время уборки.

Тогда $t_1=\dfrac{\dfrac{s}{4}}{5A}=\dfrac{S}{20A}$

Т.к. за время t1 на втором поле было убрано $5Bt_1$ урожая, а за время t1+t2 - три четверти поля, то $5Bt_1+(2A+5B)t_2=\dfrac{3S}{4}=>t_2=\dfrac{\dfrac{3S}{4}-5Bt_1}{2A+5B}$

За оставшееся время t3 на втором поле убрали оставшуюся четверть урожая, то $t_3(2A+2B)=\dfrac{S}{4}=>t_3=\dfrac{S}{4(2A+2B)}$

Приравняем работу на двух полях:

$5At_1+3At_2+(3B+3A)t_3=5Bt_1+(2A+5B)t_2+(2A+2B)t_3\\ \left[\dfrac{S}{4}=5At_1=(2A+2B)t_3\right] \\ -5Bt_1+(A-5B)t_2+(3A+3B)t_3=0\\ \dfrac{-5BS}{20A}+(A-5B)\dfrac{\dfrac{3S}{4}-\dfrac{5BS}{20A}}{2A+5B}+(3A+3B)\dfrac{S}{4(2A+2B)}=0\\ -B+(A-5B)\dfrac{3A-B}{2A+5B}+\dfrac{3}{2}A=0\\ 3A^2-AB-15AB+5B^2=2AB+5B^2-3A^2-\dfrac{15}{2}AB\\ 6A^2-\dfrac{21}{2}AB=0\\ 12A-21B=0=>\dfrac{A}{B}=\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}$

Ответ: $\dfrac{7}{4}$