Question

Математический анализ! Срочно! Желательно расписать​

Answer 1

Первый способ.

Используем следствие из второго замечательного предела:

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\log_{a}(1+x)}{x} = \dfrac{1}{\ln a}$

А при $a = e$ имеем $\underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Следовательно,

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln (1 + 3x^{2})}{x^{3} - 5x^{2}} = \bigg \{\dfrac{0}{0} \bigg \} =\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\ln (1 + 3x^{2})}{3x^{2}\bigg(\dfrac{x}{3} - \dfrac{5}{3} \bigg)} = \underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{1}{\dfrac{x}{3} - \dfrac{5}{3}} = -\dfrac{1}{\dfrac{5}{3} } = -0,6$

Второй способ.

Так как вычисление пределов числителя и знаменателя приводит к неопределенной форме, используем правило Лопиталя:

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln(1+3x^{2})}{x^{3} - x^{2}} = \underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{(\ln(1+3x^{2}))'}{(x^{3} - x^{2})'}= \underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\dfrac{6x}{1+3x^{2}} }{3x^{2} - 10x} =\\= \underset{x\rightarrow 0}{\lim} \dfrac{6}{(1+3x^{2})(3x-10)} = -\dfrac{3}{5} = -0,6$