Доказать, что для каждого натурального числа s существует натуральное число n с суммой цифр s, делящееся на s.
Ответы
Рассмотрим последовательность k-эй член которой определяется так:
причем это число неотрицательно, и меньше s. Проще говоря, это остаток от деления 10^n на s. Ясно, что последовательность периодична и ее период не больше s. Обозначим ее период t.
Теперь рассмотрим число записанное последовательностью цифр . То есть число
Очевидно, что
Возьмем такое число , что , для и во всех остальных случаях. Иными словами возьмем число которое стоит из s периодических блоков состоящих из нуля и одной единицы в конце.
Тогда наше число будет состоять из s единиц и какого-то кол-ва нулей. В этом случае, сумма цифра числа s, как и требовалось. Также
Таким образом, оба требуемых условия оказались удовлетворены.
Приведенное выше рассуждение не проходит, если s делится на какую-то степень 10, т. е. оканчивается N нулями. В этом случае построим число n для , только возьмем блоков , а не . После этого припишем к результату N нулей. Ясно, что и в этом случае число построено верно.