Question

Каждый из трех работников изготовил по 15 деталей. Во время проверки выяснилось, что среди деталей, изготовленных первым, вторым и третьим работником отдельно, стандартных деталей было 12, 10 и 11 соответственно. У каждого работника наугад взяли по одной детали.
А) Какая вероятность того, что все три детали будут стандартными?
Б) Какая вероятность того, что только одна деталь будет стандартной?

Answer 1

Найдем вероятность того, что у определенного работника взятая деталь стандартная (как отношение соответствующего числа стандартных деталей к общему числу деталей):

$p_1=\dfrac{12}{15} =\dfrac{4}{5}$

$p_2=\dfrac{10}{15} =\dfrac{2}{3}$

$p_3=\dfrac{11}{15}$

Поскольку события выбора по одной детали у каждого из работников независимы, то вероятность выбора у всех рабочих стандартных деталей определяется произведением вероятностей:

$P(A)=p_1p_2p_3=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{11}{15}=\dfrac{88}{225}$

Найдем вероятности выбора нестандартных деталей у каждого работника:

$q_1=1-p_1=1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}$

$q_2=1-p_2=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$q_3=1-p_3=1-\dfrac{11}{15}=\dfrac{4}{15}$

Одна стандартная деталь может быть выбрана только у первого работника, только у второго или только у третьего. Вероятность каждого из событий находится как произведение одной вероятности выбора стандартной детали на две другие вероятности выбора нестандартных деталей. Поскольку такие события несовместны, то полученные вероятности необходимо сложить.

$P(B)=p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3=\\=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{11}{15}=\dfrac{16}{225}+\dfrac{8}{225}+\dfrac{11}{225}=\dfrac{35}{225}=\dfrac{7}{45}$

Ответ: А) 88/225; Б) 7/45