Question

30 баллов! Найти первообразную от данной функции

Решите пожалуйста, заранее спасибо!

(в моих вопросах есть еще два примера по первообразным. Загляните, если разбираетесь, пожалуйста))

Answer 1

$F(x)=\int (ln\, sinx+1)\cdot cosx\, dx=\int ln(sinx)\cdot cosx\, dx+\int cosx\, dx=Q\\\\\\\star \; \; \int ln(sinx)\cdot cosx\, dx=[\; t=sinx\; ,\; dt=cosx\, dx\; ]=\int lnt\, dt=\\\\=[\; u=lnt\; ,\; du=\frac{dt}{t}\; ,\; dv=dt\; ,\; v=t\; ]=uv-\int v\, du=\\\\=t\cdot lnt-\int t\cdot \frac{dt}{t}=t\cdot lnt-t+C=sinx\cdot ln(sinx)-sinx+C=\\\\=sinx\cdot (ln(sinx)-1)+C\; \; \star \\\\\\Q=sinx\cdot ln(sinx)-sinx+sinx+C$