Question

Квадрат разделен на 9 меньших прямоугольника так, как показано на рисунке. Сумма периметров всех девяти прямоугольников равна 180. Чему равна площадь квадрата?

Answer 1

Обозначим стороны прямоугольников, как показано на рисунке, и найдём сумму их периметров:

$\sum P=(a+d)\cdot2+(a+e)\cdot2+(a+f)\cdot2+(b+g)\cdot2+(b+h)\cdot2+\\\\+(b+i)\cdot2+(c+j)\cdot2+(c+k)\cdot2+(c+m)\cdot2=2a+2d+2a+2e+\\\\+2a+2f+2b+2g+2b+2h+2b+2i+2c+2j+2c+2k+2c+2m=\\\\=6a+6b+6c+2d+2e+2f+2g+2h+2i+2j+2k+2m=\\\\=\left(3\cdot(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)+(j+k+m)\right)\cdot2\\\\\\\left(3\cdot(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)+(j+k+m)\right)\cdot2=180\\3\cdot(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)+(j+k+m)=90$

Так как основная фигура - квадрат, то

$d+e+f=g+h+i=j+k+m=a+b+c$

В свою очередь сумма a+b+c равна длине тороны квадрата

$3\cdot(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)=90\\6\cdot(a+b+c)=90\\a+b+c=15$

Тогда площадь квадрата $S_{KB}=15\cdot15=225$ см².