Question

При каких значениях параметра а уравнение 2(a-2)x²+a(a+1)x+6=0 имеет только целые корни

Answer 1

Ответ: a=-1  ;  a=2

Объяснение:

2(a-2)x²+a(a+1)x+6=0

По теореме Виета произведение корней равно :

6/(2(a-2)) =  3/(a-2)

Поскольку произведение корней  должно быть целым , то

a-2 - рациональное число   a-2 = p/q   p и q взаимно  простые p-целое  число , q- натуральное число

3/(a-2)  = 3/ (p/q) =  3*q/p

Поскольку p и q взаимно простые

p=+-3 ; +-1

a-2=p/q

a*(a+1) = (p/q +2)*(p/q +3)

2*p*x^2/q  + (p/q +2)*(p/q +3)*x +6=0

Умножим обе части равенства на  q^2

2*p*q*x^2 + (p+2q)*(p+3q) +6*q^2=0

Тогда по теореме Виета  -  cумма корней равна

N= -(x1+x2) = (p+2q)*(p+3q)/(2*p*q)  

1)  p=1

N =  (1+2q)*(1+3q)/2q =  (1+3q)/2q +  1+3q =   (1+q)/2*q  +  2+3q

Таким образом :  1+q делится на 2*q

1+q =2*q*n    n ,q - натуральные числа  (1+q -  так же натуральное число соответственно)

1 =  q* (2n-1 )  

q=1

2)  p=-1

(2q-1)*(3q-1)/(-2*q) = (2q-1) *(1-3q)/2q =  1-3q  + (3q-1)/2q  = 2-3q  +(q-1)/2q

q-1 делится на 2q

q-1 = 2*q*n   n-целое , q- натуральное

1= q* ( 1-2n)

q=1

Таким образом :  a12= +-1/1 = +-1 ( кандидаты на a )

3) p= 3

(3+2q)*(3+3q)/6*q = ( 6*q*(1+q) + 9*(1+q) ) /6q =  1+q  +(3+3q) /2q =

(q+3)/2q + 2+q

q+3 делится на 2q

q+3 =2*q*n   q,n- натуральные

3= q*(2n-1)

q=3 ; 1    a=3/3=1=a1 ;  a3= 3/1= 3

4)  p=-3

(2q-3)*(3q-3)/(-6q) =  (2q-3)* (1-q)/2q = 1-q  + (3q-3)/2*q = 2-q  +(q-3)/2q

q-3  делится на 2q

q-3= 2*q*n  n-целое ,  q- натуральное

3= q*(1-2n)

q=3 ; 1   (  q=3  подходит тк 2-q  +(q-3)/2q = 2-3=-1

a= -3/3=-1 =a2 ;  a4= -3/1= -3

Таким образом :  a=+-1 ;  +-3    единственные кандидаты на уравнение с целочисленными корнями

Проверяем :

a=1

-2*x^2 +2*x+6=0

x^2-x-3=0

D =1+12=13 - не полный квадрат. ( не  подходит)

a=-1

-6*x^2 +6=0

6=6*x^2

x^2=1

x=+-1

a=-1 (подходит)

a=3

2*x^2  +12*x +6=0

x^2+6*x+3=0

D=36-12=24 - не  полный квадрат ( не подходит)

a=-3

-10*x^2 +6*x +6 =0

5*x^2-3*x-3=0

D= 9+60=69 - не   подходит.

Ответ :  a=-1 ( казалось бы!)

Но  мы кое что забыли !

Рассмотрим случай   a=2 , в  этом случае наше уравнение становится линейным :

6*x+6=0

x=-1  , то есть  a=2   подходит .

Случай же ,когда  D=0  соответствует общему случаю .

Только  сумма  корней  по теореме Виета равна 2*x0 , а произведение xo^2  ( корень второй кратности равный x0).

Так  что в этом моменте все в порядке