Question

Из некоторого числа вычли сумму его цифр, из полученного числа вычли сумму его цифр и т.д. После одиннадцатого вычитания впервые получили 0. Каким могло быть первое число?

Answer 1

Ответ:

любое от 100 до 109

Пошаговое объяснение:

Изучим операцию вычитания суммы цифр из числа.

1) Для однозначных чисел она дает 0.

2) Для двузначных она дает для числа $ab$ (a обозначает первую цифру, b - вторую)

$10a+b-(a+b)=9a$

То есть мы берем первую цифру нашего двузначного числа и умножаем ее на 9. Например 38 -> 27.

Из этих двух свойств понятно, что непосредственно перед нулем шло однозначное число, причем кратное 9. То есть это и было 9. До этого шли двузначные числа, но они все были результатом этой операции, а потому должны быть кратны 9. Таким образом, очень легко восстанавливаем конец этой последовательности:

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

(в обратном порядке)

Следующее число должно быть либо 90, либо 99. Ясно что оно получалось из трехзначного числа. Но первые десять трехзначных чисел дают 99, а следующие уже слишком большие. Из этого заключаем, что последовательность заканчивается так:

99 и любое число от 100 до 109.

Таким образом ответ на вопрос: любое от 100 до 109.