Question

Решить иррациональное неравенство. $\sqrt{x+7}\ \textless \ x$
Пожалуйста как можно подробнее
ответ ($\frac{1+\sqrt{29} }{2}$;+∞)

Answer 1

$\sqrt{x+7}<x$

ОДЗ:

$\begin{cases}x+7\geq0\\x>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq-7\\x>0\end{cases}\Rightarrow x>0$

Решение: возведём обе части неравенства в квадрат:

$x+7<x^2\\x^2-x-7>0\\x^2-x-7=0\\D=1-4\cdot1\cdot(-7)=1+28=29\\x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{29}}2\\x_1=\frac{1-\sqrt{29}}2\approx-2,19\\x_2=\frac{1+\sqrt{29}}2\approx3,19$

Первый корень не подходит по ОДЗ. Значит $x\in\left(\frac{1+\sqrt{29}}2;\;+\infty\right)$.