Question

решите уравнение(2x+3) во второй степени минус (x-5)во второй степени равно 0

Answer 1

$(2x+3)^{2} - (x - 5)^{2} = 0$

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:

Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ для данного уравнения:

$(2x+3 - (x - 5))(2x + 3 + x - 5) = 0\\(2x + 3 - x + 5)(3x - 2) = 0\\(3x + 8)(3x - 2) = 0$

Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

$\left[\begin{array}{ccc}x + 8 = 0 \ \\3x - 2 = 0\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = -8\\3x = 2 \ \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = -8 \\ x = \dfrac{2}{3} \ \end{array}\right$

ВТОРОЙ СПОСОБ:

Преобразуем уравнение: $(2x+3)^{2} = (x - 5)^{2}$

Поднесем арифметический квадратный корень к каждой части уравнения и используем тождество $\sqrt{a^{2}} = |a|$. Имеем:

$\sqrt{(2x+3)^{2}} = \sqrt{(x - 5)^{2}}$

$|2x+3| = |x - 5|\\\\\left[\begin{array}{ccc}2x+3 = x - 5\\2x+3 = 5 - x\\ \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=-8\\3x = 2 \ \\ \end{array}\right \\\\\left[\begin{array}{ccc}x=-8\\x = \dfrac{2}{3} \ \ \\ \end{array}\right$

ТРЕТИЙ СПОСОБ:

Используя формулу $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$, запишем выражения в развернутом виде и решим полученное квадратное уравнение:

$4x^{2} + 12x + 9 - (x^{2} - 10x + 25) = 0\\4x^{2} + 12x + 9 - x^{2} + 10x - 25 = 0\\3x^{2} + 22x - 16 = 0$

Используя формулу дискриминанта $D = b^{2} - 4ac$ и формулу нахождения корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D} }{2a}$, где $a, \ b, \ c$ - коэффициенты данного квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0$:

$D = 22^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 484 + 192 = 676\\\\x_{1,2} = \dfrac{-22 \pm \sqrt{676} }{2 \cdot 3} = \dfrac{-22 \pm 26}{6} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = \dfrac{-22 + 26}{6} = \dfrac{2}{3} \ \ \\x_{2} = \dfrac{-22 - 26}{6} = -8 \\ \end{array}\right$