Question

$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} = a + b + c$
a>0, b>0, c>0
нужно доказать неравенство
помогите пожалуйста ❤️​

Answer 1

Для удобства  сделаем замены :

bc/a = m

ac/b = n

ab/c = l

Тогда :

a= √n*l

b=√m*l

c=√m*n

Тогда нужно доказать неравенство :

m+n+l >=  √n*l +√m*l +√m*n

Запишем 3  неравенства между

 среднем арифметическим и  среднем геометрическим

m+n >= 2√m*n

m+l>=2√m*l

l+n>=2√l*n

Cкладывая их почленно  имеем :

2*(m+n+l) >= 2√n*l +2√m*l +2√m*n

Cокращаем на 2 :

m+n+l >=  √n*l +√m*l +√m*n

Возвращаясь к заменам имеем :

bc/a +ac/b +ab/c >= a+b+c

Что и требовалось доказать