Question

Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом Гаусса.Помогите решить с подробным объяснением.

Answer 1

Ответ:

$\left(\begin{array}{ccccc}1&2&-6&-1&|-17\\5&10&-31&1&|-84\\1&1&5&-7&|\; \; \; 32\end{array}\right)\sim \; \; \; (-5)\cdot 1str+2str\; \; ;\; \; 3str-1str\\\\\\\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&2&-6&-1&|-17\\0&0&-1&6&|\; \; \; \; 1\\0&0&11&-6&|\; \; 49\end{array}\right)\sim \; \; \; 11\cdot 2str+3str$

$\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&2&-6&-1&|-17\\0&0&-1&6&|\; \; \; \; \; 1\\0&0&0&60&|\; \; 60\end{array}\right)\; \; \; \Rightarrow$

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен r=3. Значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Количество неизвестных равно n=4. Так как r<n , то система имеет бесчисленное множество решений.  Выбираем базисные неизвестные - это  х₂ , х₃ , х₄ (определитель матрицы, составленной из коэффициентов перед этими неизвестными, не равен 0) и свободное неизвестное x₁ , которое может принимать произвольные числовые значения. Выражаем базисные неизвестные через свободное.

$\left\{\begin{array}{r}x_1+2x_2-6x_3-x_4=-17\\-x_3+6x_4=1\\60x_4=60\end{array}\right\; \; \; \; \Rightarrow \; \; x_4=1\\\\\\-x_3=1-6x_4=1-6=-5\; \; ,\; \; x_3=5\\\\x_1+2x_2-6\cdot 5-1=-17\; \; ,\; \; 2x_2=-x_1-17+30+1\; \; ,\; \; 2x_2=-x_1+14\; ,\\\\x_2=-\frac{1}{2}x_1+7\\\\x_1=C\\\\Otvet:\; \; X=\left(\begin{array}{ccc}C\\-0,5\, C+7\\5\\1\end{array}\right)\; .$