Помогите решить задачу по математике
Ответы
Ответ: 4^9+4^6 -4^3 = 266176
Объяснение:
Докажем важное утверждение :
Если натуральное число является одновременно n и m степенью других натуральных чисел , причем n и m взаимно простые числа , то это число является степенью n*m от натурального числа .
То есть если : N=a^n=b^m , то N=c^(n*m) , где N,a,b,c,n,m- натуральные числа.
Понятно , что если N=a^n * b^m , то числа a и b имеют одинаковый набор простых чисел в их разложении на простые множители , хотя степени при простых числах различны.
Таким образом :
a= p1^n1 * p2^n2 ......*pi^ni (pk - простые числа ; nk- показатели степеней при них)
b= p1^m1 *p2^m2....*pi^mi (mi - показатели степеней)
N=a^n=b^m , таким образом
для любого 1<=k<=i
pk^(nk*n)= pk^(mk*m)
nk*n=mk*m
Поскольку m и n взаимно простые , то
nk*n=mk*m = n*m*s , s-натуральное число.
То есть для любого 1<=k<=i верно что
pk^(nk*n)= pk^(mk*m) =pk^(n*m*s)
Таким образом все простые числа в числе N возведены в степень n*m , а значит N является степенью n*m от натурального числа.
ЧТД
Вернемся теперь к нашей задаче.
Посчитаем количество чисел которые являются квадратами
4^18 является полным квадратом
4^18= (4^9)^2 , значит ровно N1=4^9 чисел являются полными квадратами.
Найдем число всех кубов :
4^18= (4^6)^3 , значит ровно N2= 4^6 чисел полные кубы .
Заметим , что все числа с 4 степенью автоматически уже вошли в число всех квадратов , тк 4^18= (2^9)^4 (Это может понять не каждый , нужно очень внимательно вдуматься)
То есть перебрав все квадраты мы уже перебрали и четвертые степени , поскольку они так же являются квадратами.
Найдем теперь общее число чисел что квадраты и кубы одновременно .
Согласно утверждению выше это число чисел что являются 6 степенью.
4^18= (4^3)^6 , значит ровно N12=4^3 и квадрат и куб одновременно.
Примечание : чисел что и четвертая степень и куб так же войдет в число чисел что квадрат и куб .
Тогда мистер Фокс насчитал : X= N1+N2-N12 = 4^9+4^6 -4^3 = 266176