Question

Дано 100-значное число, все цифры которого отличные от 0. Его цифры разбили на пары соседних и в каждой паре цифры поменяли местами. Могло ли число после такой операции увеличиться ровно в 5 раз? Как решить?

Answer 1

Заметим, что если первая цифра числа A больше 1, то кол-во цифр в числе 5А больше. Значит первая цифра равна 1.

Пусть $A=\overline{1a...}=>5A=\overline{a1...}=>\overline{a1}=5*\overline{1a}+b, b\in N_0=>10a+1=50+5a+b=>5a=49+b;\:\:5a\leq 5*9=45=>b<0$ - противоречие. А значит число не могло увеличиться в 5 раз.

Ответ: нет