Question

Доказать тождество алгебры множеств:

( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z );

Answer 1

Ответ:

Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда

или 1) а ∈ X ∩ Y  ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.

Если а ∈ Z  ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

Значит, а ∈ X и а ∈ Y  ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z

Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Из включений

( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )

(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z

получаем равенство!