Question

решите
$sin2x-2sin(x+\frac{4\pi}{3} )=sinx$

Answer 1

Объяснение:

$sin2x-2sin(x+\frac{4\pi}{3})-sinx=0\\ 2sinxcosx-2(sinxcos\frac{4\pi}{3}+sin\frac{4\pi}{3}cosx)-sinx=0\\2sinxcosx-2(-\frac{1}{2}sinx -\frac{\sqrt3}{2}cosx)-sinx=0\\ 2sinxcosx+sinx+\sqrt3cosx-sinx=0\\2sinxcox+\sqrt3cosx=0\\cosx(2sinx+\sqrt3)=0$

Уравнение равносильно совокупности:

$\left [ {{cosx=0} \atop {sinx=-\frac{\sqrt3}{2} }} \right. \Rightarrow\left [ {{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in\mathbb Z } \atop {x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in\mathbb Z }} \right.$

Вторую строку еще можно можно "раздробить" на две серии: x₁ = arcsin (-√3/2) + 2πk,  x₂ = π - arcsin(-√3/2) + 2πk;  x₁ = -π/3 + 2πk, x₂ = 4π/3 + 2πk.