Question

Вопрос по тригонометрии
1-ctg(a)*ctg(3a), если cos(2a)=2/3
Прошу пояснить ход решения

Answer 1

Обозначим искомое выражение:

$x=1-\mathrm{ctg}\alpha\mathrm{ctg}3\alpha$

Распишем котангенсы как отношение косинуса к синусу:

$x=1-\dfrac{\cos\alpha\cos3\alpha}{\sin\alpha\sin3\alpha}$

Применим формулу для произведения косинусов и произведения синусов:

$x=1-\dfrac{\frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha)+\cos(\alpha+3\alpha))}{\frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha)-\cos(\alpha+3\alpha))}=1-\dfrac{\cos(-2\alpha)+\cos4\alpha}{\cos(-2\alpha)-\cos4\alpha}$

Воспользуемся четностью функции косинуса:

$x=1-\dfrac{\cos2\alpha+\cos4\alpha}{\cos2\alpha-\cos4\alpha}$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$x=1-\dfrac{\cos2\alpha+2\cos^22\alpha-1}{\cos2\alpha-(2\cos^22\alpha-1)}=1-\dfrac{\cos2\alpha+2\cos^22\alpha-1}{\cos2\alpha-2\cos^22\alpha+1}$

Подставим числовое значение косинуса:

$x=1-\dfrac{\frac{2}{3}+2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2-1}{\frac{2}{3}-2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+1}=1-\dfrac{\frac{2}{3}+2\cdot\frac{4}{9}-1}{\frac{2}{3}-2\cdot\frac{4}{9}+1}=1-\dfrac{\frac{2}{3}+\frac{8}{9}-1}{\frac{2}{3}-\frac{8}{9}+1}=\\=1-\dfrac{6+8-9}{6-8+9}=1-\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}$

Ответ: 2/7