Question

Даны два натуральных числа, про которые известно, что сумма квадрата первого, умноженного на 5 и учетверенного произведения этих чисел больше квадрата второго числа на 17.Найдите числа, в ответе запишите сумму этих чисел.

Answer 1

x - первое число, y - второе.

$5x^2+4xy=y^2+17\\5x^2+4xy-y^2=17\\5x^2+5xy-xy-y^2=17\\5x(x+y)-y(x+y)=17\\(x+y)(5x-y)=17$

Так как x и y натуральные, то значения в скобках будут тоже натуральными. В правой части число 17, которое является простым. Значит, выражение в одной скобке имеет значение 1, во второй 17.

При натуральных x и y выражение (x+y) не может быть равно 1. Тогда

$\begin{cases}x+y=17\\5x-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=17-y\\5\cdot(17-y)-y=1\end{cases}\\\\\\5\cdot(17-y)-y=1\\85-5y-y=1\\6y=84\\y=14\\\\\boxed{\begin{cases}x=3\\y=14\end{cases}}$