Question

Исследовать ряд на сходимость

Answer 1

//////////////////////////////

Answer 2

1) Используем признак сравнения с расходящимся рядом.

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}\\\\a_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}\; \; ,\; \; b_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(2n)^2}}\; -\; rasxoditsya\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}:\frac{1}{\sqrt[3]{(2n)^2}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{\sqrt[3]{(2n)^2}}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}=1\; \Rightarrow \; \; ?\\\\a_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}\; <\; b_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(2n)^2}}$

Так как расходящийся ряд  $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{(2n)^2}}$    является мажорантным, то и минорантный ряд   $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{(2n+3)^2}}$  тоже будет расходящимся .

P.S.  $b_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(2n)^2}}<c_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}=\frac{1}{n^{2/3}}$  - расходящийся обобщённый гармонический ряд.

$2)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{3^{n+2}}{5^{n}} \\\\D'Alamber:\lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{3^{n+3}}{5^{n+1}}:\frac{3^{n+2}}{5^{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{3^{n}\cdot 3^3}{5^{n}\cdot 5}}\cdot \frac{5^{n}}{3^{n}\cdot 3^2}=\frac{3}{5}<1\\\\sxoditsya$