Question

y''+y=x³+6x, y(0)=y'(0)=0

Answer 1

Решаем соответствующее однородное дифференциальное уравнение

$y''+y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, мы перейдем к характеристическому уравнению

$k^2+1=0\\ k^2=-1\\ k=\pm i$

Общее решение однородного диф. уравнения:

$y^*=C_1\cos x+C_2\sin x$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=e^{0x}(x^3+6x)$. И обозначим $P_n(x)=x^3+6x$ здесь $n=3$ и $\alpha =0$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n = 3, частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

Найдем первую и вторую производную

$y'=3Ax^2+2Bx+C\\ y''=6Ax+2B$

Подставляем теперь все это в исходное диф. уравнение

$6Ax+2B+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3+6x\\ \\ Ax^3+Bx^2+(6A+C)x+2B+D=x^3+6x$

Приравниваем коэффициенты при степенях x

$\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=0\\&\text{}6A+C=6\\&\text{}2B+D=0\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=0\\&\text{}C=0\\&\text{}D=0\end{cases}$

Частное решение: $\overline{y}=x^3$

Общее решение линейного неоднородного диф. уравнения:

$y=y^*+\overline{y}=C_1\cos x+C_2\sin x+x^3$

$y'=(C_1\cos x+C_2\sin x+x^3)'=-C_1\sin x+C_2\cos x+3x^2$

Найдем частное решение, подставляя начальные условия

$\begin{cases}&\text{}0=C_1\\&\text{}0=C_2\end{cases}$

Ответ: $y=x^3.$