Question

Помогите пжжжж очень прошууууу. Даю 40 баллов.
в Васином доме 1000 квартир. Сумма всех шести различных двух значных чисел, составленных из цифр номера квартиры Васи, в целое число раз больше самого номера квартиры. Определите номер Васиной квартиры пжжжжжж​​

Answer 1

Ответ:

132, 198, 264, 396.

Решение:

Чтобы из числа можно было сделать все шесть различных двухзначных чисел, необходимо, чтобы исходное число было трехзначным и все цифры в нем были разные, представим это число в виде $100a+10b+c$.

А сумма всех шести различных двухзначных чисел будет такая:

$(10a+b)+(10b+a)+(10a+c)+(10c+a)+(10b+c)+(10c+b)=\\= 22a+22b+22c.$

При этом ($k$ натуральное):

$(22a+22b+22c)=k(100a+10b+c).$

Представим теперь, что $k\geq 3$, то есть:

$22a+22b+22c \geq 3(100a+10b+c)\\22a+22b+22c \geq 300a+30b+3c\\278a+8b\leq 19c.$

Но это противоречие, так как правая часть по-любому больше левой, а здесь она меньше. Поэтому $k<3$.

Итак, нужно рассмотреть два случая:

1).  $k=2$. Тогда:

$22a+22b+22c=2(100a+10b+c)\\11a+11b+11c=100a+10b+c\\89a=b+10c.$

Нетрудно понять, что в натуральных однозначных числах здесь всего одно решение: $a=1, b=9, c=8$.

А нужное число - это $198$.

2). Случай посложнее: $k=1$.

$22a+22b+22c=1(100a+10b+c)\\78a-12b-21c=0\\26a=4b+3c$

Если $a=1$ уравнение принимает вид $26=4b+3c$, и, тогда в вышеуказанных условиях у него такое одно решение: $a=1, b=3, c=2$. Число - $132$.

Ну а теперь пусть $a=2$ и $52=4b+7c$. Здесь методом подбора: $a=2, b=6, c=4$. А число - $264$.

И последний случай $a=3$, то есть $78=4b+7c$, где, подбором, $a=3, b=9, c=6$. Число $396$.

Делаем вывод, что Вася богатый и у него в доме четыре (по крайней мере!) квартиры.