Question

Решите уравнение:

(а² - 6а + 5)х² - (а - 5)х = 0

Answer 1

Легко заметить, что выражение $a^2-6a+5=0$ хорошо раскладывается на множители. Для этого необходимо знать корни трехчлена, один из которых единица, так как сумма коэффициентов уравнения равна 0 (1-6+5=0), а второй корень равен частному свободного члена и коэффициента при квадрате, в данном случае 5. Тогда получаем, что $a^2-6a+5=(a-1)(a-5)$

Теперь можно решать исходное уравнение:

$(a^2-6a+5)x^2-(a-5)x=0 \Rightarrow (a-1)(a-5)x^2-(a-5)x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (a-5)\cdot x \cdot((a-1)x-1)=0 \Rightar$

Далее необходимо проанализировать, что происходит в данном уравнении:

При $a=5$ выражение слева зануляется независимо от $x$, поэтому вывод: при $a=5: \ x \in \mathbb{R}$

Далее, так же видно, что $x=0$ - корень данного уравнения независимо от значений  $a$.

Теперь проанализируем правую скобку: $\displaystyle x=\frac{1}{a-1}; \ a\neq 1$

При $a=1: \ (a-1)x-1=0-1=-1$, то скобка превращается просто в числовое выражение, которое на уравнение не влияет.

Собирая все, получим ответ:

При $a=1$ уравнение имеет 1 корень $x=0$

При $a\neq 1; \ a\neq 5$ уравнение имеет 2 корня $\displaystyle x=0; \ x=\frac{1}{a-1}$

При $a=5$ уравнение имеет бесконечное множество корней $x \in \mathbb{R}$