Question

Помогите решить задачу: Окружность с центром I, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ и ВС в точках С0 и А0 соответственно. Окружность, проходящая через точки В и I, пересекает стороны АВ и ВС в точках X и Y. Докажите, что середина отрезка XY лежит на прямой А0С0.
РИСУНОК:

Answer 1

Из точки описанной окружности на прямые сторон треугольника опущены перпендикуляры. Основания перпендикуляров лежат на прямой Симсона.  

Точка I лежит на биссектрисе угла B, следовательно делит дугу XY пополам. Пусть Bo - середина хорды XY. Тогда IBo - серединный перпендикуляр к XY (хорды IX и IY равны, стягивают равные дуги).

I - точка на окружности, описанной около треугольника XBY. IAo, IBo, ICo - перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника XBY. Основания перпендикуляров Ao, Bo, Co лежат на прямой Симсона.