Question

нужно найти предел функции под буквой f. Кто разбирается, помогите пожалуйста

Answer 1

Бесконечно малые функции: $e^x-1\sim x,~~ x\to 0;~~ \ln (1+x)\sim x,~~x\to 0$. Используем формулу сокращенного умножения:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-2}+b^n)$

Для n = 7 мы имеем

$a^7-b^7=(a-b)(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)$

Положим $a=\sqrt[7]{1+3x}$ и $b=1$, тогда

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{2x}(e^{\sqrt{x^3}}-1)}{\ln(1-2x)(a-b)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{2x}\cdot \sqrt{x^3}(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)}{(-2x)(a-b)(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)}~\boxed{=}$

Подставив x = 0 в числителе третьего множителя, мы найдем значение

$a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6=(\sqrt[7]{1+3\cdot 0})^6+(\sqrt[7]{1+3\cdot 0})^5\cdot 1+\\ \\ +(\sqrt[7]{1+3\cdot0})^4\cdot 1^2+(\sqrt[7]{1+3\cdot0})^3\cdot 1^3+(\sqrt[7]{1+3\cdot0})^2\cdot 1^4+\\ \\ +(\sqrt[7]{1+3\cdot0})\cdot 1^5+1^6=1+1+1+1+1+1+1=7$

$\boxed{=}~\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{2x^4}\cdot7}{(-2x)\Big((\sqrt[7]{1+3x})^7-1^7\Big)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{7\sqrt{2}x^2}{(-2x)\cdot \Big(1+3x-1\Big)}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\dfrac{7\sqrt{2}x}{(-2)\cdot 3x}=-\dfrac{7\sqrt{2}}{6}$