Question

ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО ДАЮ 60 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ РЕШАТЬ СИСТЕМУ С РЕШЕНИЕМ ​

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l} \sin^2x+\sin^2y=0.75 \\ x+y=\frac{\pi}{3}\end{array}$

Выразим из второго уравнения соотношение для у:

$y=\dfrac{\pi}{3}-x$

Подставим в первое уравнение:

$\sin^2x+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=0.75$

Воспользуемся формулой синуса разности:

$\sin^2x+\left(\sin\dfrac{\pi}{3}\cos x-\cos\dfrac{\pi}{3}\sin x\right)^2=0.75$

$\sin^2x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}\sin x\right)^2=0.75$

Для удобства домножим левую и правую часть на 4:

$4\sin^2x+\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)^2=3$

Раскроем скобки:

$4\sin^2x+3\cos^2x+\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=3$

Перегруппируем слагаемые в левой части:

$(3\sin^2x+3\cos^2x)+2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=3$

Для слагаемых в скобках применим основное тригонометрическое тождество:

$3+2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=3\\2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\\2\sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$

Уравнение распадается на совокупность двух:

$\left[\begin{array}{l} 2\sin x=0 \\ \sin x-\sqrt{3}\cos x=0 \end{array}$

Решаем первое уравнение:

$2\sin x=0\\ \sin x=0\\\Rightarrow x_1=\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\\Rightarrow y_1=\dfrac{\pi}{3}-x_1=\dfrac{\pi}{3}-\pi n, \ n\in \mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$

Поскольку cosx не может равняться 0 на это выражение можно почленно разделить:

$\mathrm{tg}x-\sqrt{3}=0\\\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\\ \Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}{3} +\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\\Rightarrow y_2=\dfrac{\pi}{3}-x_2=\dfrac{\pi}{3}-\left(\dfrac{\pi}{3} +\pi n\right)=-\pi n, \ n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\left(\pi n; \ \dfrac{\pi}{3}-\pi n\right)$ и $\left(\dfrac{\pi}{3} +\pi n; \ -\pi n\right)$, где n - целые числа