Question

Помогите подробно решить уравнение

P.S. без полного раскрытия первых двух скобок и калькулятора (для решения такого рода уравнений).

$(x+1)^{8} + (x^{2}+1)^{4} = 2x^4$

Answer 1

$(x+1)^8+(x^2+1)^4=2x^4~~~|:x^4\ne 0\\ \\ \left(\dfrac{(x+1)^2}{x}\right)^4+\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^4=2\\ \\ \\ \left(\dfrac{(x+1)^2}{x}\right)^4+\left(\dfrac{(x+1)^2}{x}-2\right)^4=2$

Пусть $\dfrac{(x+1)^2}{x}=t$, тогда мы получаем

$t^4+(t-2)^4=2$

Рассмотрим функцию $f(t)=t^4+(t-2)^4$. Её производная функции: $f'(t)=4t^3+4(t-2)^3$. Приравнивая производную функции к нулю, мы получим

$4t^3+4(t-2)^3=0$ которое равносильно уравнению $t+t-2=0$ откуда $t=1$

_____-____(1)____+_____

Функция убывает на промежутке t ∈ (-∞; 1), а возрастает - t ∈ (1; +∞). Следовательно, t = 1 — относительный минимум. Тогда f(1) = 2 и при этом $E(f)=[2;+\infty)$. То есть, t = 1 — решение уравнения $t^4+(t-2)^4=2$ и единственно.

Выполним обратную замену:

$\dfrac{(x+1)^2}{x}=1~~~\Rightarrow~~~ (x+1)^2=x~~~\Rightarrow~~~ x^2+2x+1=x\\ \\ x^2+x+1=0$

$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3$

Дискриминант отрицателен, следовательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: нет решений.