Question

Дан правильный четырёхугольник. Отметим его центр, все вершины, также на каждой стороне отметим по 2 дополнительные точки, которые поделят сторону на 3 равные части (то есть всего отмечено 13 точек). Сколько существует (невырожденных) треугольников с вершинами в отмеченных точках

Answer 1

Ответ:

264

Пошаговое объяснение:

Всего треугольников (считая вырожденные)

$C^{13}_3=286$

Вырожденные - это те, где все три вершины лежат на одной прямой. Эти прямые всего двух видов:

1) Проходящие через центр. Их всего 6, на каждой лежит ровно три точки, а значит и вырожденных треугольников 6.

2) Содержащие стороны квадрата. Их всего 4, на каждой 4 вершины, значит вырожденных треугольников

$4\cdot C^4_3=16$

И того, невырожденных треугольников 286-6-16=264.