Question

Помогите решить диф.ур.
$(x^{2} -4xy-2y^{2} )dx+(y^{2} -4xy-2x^{2} )dy=0$

Answer 1

После замены $y=zx$ и с учетом $y'=z'x+z$ вы получите

$\displaystyle \int \dfrac{z^2-4z-2}{z^3-6z^2-6z+1}dz=-\int \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \dfrac{1}{3}\int \dfrac{d(z^3-6z^2-6z+1)}{z^3-6z^2-6z+1}=-\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{1}{3}\ln |z^3-6z^2-6z+1|=-\ln |x|+\ln C\\ \\ \\ \sqrt[3]{z^3-6z^2-6z+1}=\dfrac{C}{x}$

Выполнив обратную замену, мы получим

$\sqrt[3]{\dfrac{y^3}{x^3}-\dfrac{6y^2}{x^2}-\dfrac{6y}{x}+1}=\dfrac{C}{x}$

Получили общий интеграл