Question

решите уравнение: $sin(x)+sin(3x)+sin(5x)+sin(7x)=0$

Answer 1

$\sin x+\sin3x+\sin5x+\sin7x=0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin x+\sin7x)+(\sin3x+\sin5x)=0$

Воспользуемся формулой для суммы синусов:

$2\sin\dfrac{x+7x}{2}\cos\dfrac{x-7x}{2}+2\sin\dfrac{3x+5x}{2}\cos\dfrac{3x-5x}{2}=0$

$2\sin4x\cos(-3x)+2\sin4x\cos(-x)=0$

Воспользуемся четностью функции косинуса:

$2\sin4x\cos3x+2\sin4x\cos x=0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin4x(\cos3x+\cos x)=0$

Для суммы косинусов воспользуемся соответствующей формулой:

$2\sin4x\cdot2\cos\dfrac{3x+x}{2}\cos\dfrac{3x-x}{2}=0$

$2\sin4x\cdot2\cos2x\cos x=0$

$4\sin4x\cos2x\cos x=0$

Уравнение распадается на совокупность трех уравнений:

$\left[\begin{array}{l} \sin4x=0 \\ \cos2x=0 \\ \cos x=0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 4x=\pi n \\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi n}{4}  \\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \end{array}$

Заметим, что корни, даваемые второй и третьей серией, также даются и первой серией. Значит, более простая запись решения следующая:

$x=\dfrac{\pi n}{4}, \ n\in Z$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{4}$, где n - целые числа