Question

Исследовать на сходимость числовой ряд

Answer 1

1) $lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{2^n} \left (\dfrac{2n+1}{2n-1}\right )^{n^2}}}=lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{2n+1}{2n-1}\right )^{n}=\dfrac{1}{2}lim_{n\to \infty} \left (1+\dfrac{2}{2n-1}\right )^{\frac{2n-1}{2}*\frac{2n}{2n-1}}=\dfrac{1}{2}lim_{n\to \infty}e^{\frac{2n}{2n-1}}=\dfrac{e}{2}>1$

Тогда по признаку Коши ряд расходится.

2) $\dfrac{1}{nln^2(3n+1)}<\dfrac{1}{nln^2(n)}\:\forall\:n>1$

$\int\limits_2^{\infty}\dfrac{1}{nln^2(n)}dn=\int\limits_2^{\infty}\dfrac{1}{ln^2n}d(lnn)=\dfrac{-1}{lnn} \left | \limits_2^{\infty}=0+\dfrac{1}{ln2}$ - интеграл сходится, тогда, т.к. $\dfrac{1}{nln^2(n)}>\dfrac{1}{(n+1)ln^2(n+1)}\forall\:n>1$, $\sum\dfrac{1}{nln^2n}$ сходится по интегральному признаку.

Тогда исходный ряд сходится по признаку сравнения.