Question

Найти эксцентриситет кривой, точки которой на комплексной плоскости определяются соотношением

l l z-2*i l - l z+2*i l l = 3

Где z-комплексное число, l - модуль

Answer 1

Пусть $z=x+iy$, тогда

$\Big||x+i(y-2)|-|x+i(y+2)|\Big|=3\\ \\ \Big|\sqrt{x^2+(y-2)^2}-\sqrt{x^2+(y+2)^2}\Big|=3$

Возводим обе части уравнения в квадрат, получим

$x^2+(y-2)^2-2\sqrt{x^2+(y+2)^2}\sqrt{x^2+(y-2)^2}+x^2+(y+2)^2=9\\ \\ 2x^2+2y^2-1=2\sqrt{\Big(x^2+(y-2)^2\Big)\Big(x^2+(y+2)^2\Big)}$

Снова возводя в квадрат и выполняя преобразования, мы получим

$36x^2-28y^2+63=0\\ \\ \dfrac{x^2}{(\frac{\sqrt{63}}{6})^2}-\dfrac{y^2}{(\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{28}})^2}=-1$

Это уравнение гиперболы, только действительная и мнимая полуоси лежат на оси ординат, т.е. сместили гиперболу вида $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ поворотом под углом 90°.

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{63}}{6}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{63}}{\sqrt{28}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{63}{36}+\dfrac{63}{28}}=\sqrt{4}=2$

Тогда эксцентриситет: $\varepsilon =\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{\frac{\sqrt{63}}{6}}=\dfrac{2\cdot6}{3\sqrt{7}}=\dfrac{4}{\sqrt{7}}$

Ответ: $\dfrac{4}{\sqrt{7}}$.