Question

На прямой отмечено несколько точек. Петя проделывает с ними операцию удвоения: между любыми двумя соседними точками рисует по точке. После того, как Петя проделал операцию удвоения n раз, на прямой оказалось 193 точки. Какое наибольшее значение может принимать n?

Answer 1

Решение:

Заметим, что если у нас в какой-то момент времени на прямой оказалось $x$ точек, то после "удвоения" точек станет ровно $x+(x-1)=2x-1$.

То есть, чтобы узнать, сколько точек было до $193$ точек, нужно решить уравнение $193=2x_1-1$. Понятно, что $x_1=97$.

Узнаем, сколько точек было до $97$:  $97=2x_2-1$. Здесь $x_2=49$.

Очередным уравнением будет $49 = 2x_3-1$ и $x_3=25$.

Далее $25=2x_4-1$, откуда $x_4=13$.

По аналогии $13=2x^5-1$, и, конечно $x_5=7$.

И, заключительный шаг, $7=2x_6-1$, где $x_6=4$.

А уравнение $4=2x_7-1$ имеет ненатуральный корень $x_7=2.5$, точек на количество прямой не может быть дробным числом.

Получаем, что максимальное значение $n$ равно $6$:

$4 \rightarrow 7 \rightarrow 13 \rightarrow 25 \rightarrow 49 \rightarrow 97 \rightarrow 193$

То есть, больше $6$ шагов нельзя сделать, иначе бы число точек на прямой было бы дробным.

Ответ:

$\rm max \;\; n \; = \; 6$