Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Answer 1

Перепишем данное дифференциальное уравнение в виде:

$y'+\dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{1}{x^3}$

Умножив обе части уравнения на $\mu(x)=e^{\int \frac{dx}{x^2}}=e^{-1/x}$, мы получим

$e^{-1/x}\cdot y'+e^{-1/x}\cdot \dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}\\ \\ \\ \Big(e^{-1/x}\cdot y\Big)'=-\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}$

Интегрируем обе части уравнения

$e^{-1/x}\cdot y=\displaystyle \int -\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}dx$

Решим интеграл стоящий справа уравнения отдельно

$\displaystyle \int -\dfrac{e^{-1/x}dx}{x^3}=\Big\{\dfrac{1}{x}=t;~ dy=-\dfrac{dx}{x^2}\Big\}=\int te^{-t}dt=\left\{\begin{array}{ccc}u=t;~~ du=dt\\ \\ dv=e^{-t}dt;~~ v=-e^{-t}\end{array}\right\}=$

$=\displaystyle -te^{-t}+\int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}+C=-e^{-1/x}\Big(\dfrac{1}{x}+1\Big)+C$

Получаем

$y=-\dfrac{1}{x}-1+Ce^{-1/x}$ — общее решение

Подставляя начальные условия, найдем константу C

$0=-1-1+Ce^{-1}\\ \\ Ce^{-1}=2\\ \\ C=2e$

Частное решение: $y=-\dfrac{1}{x}-1+2e\cdot e^{-1/x}=-\dfrac{1}{x}-1+2e^{\frac{x-1}{x}}$