Найдите наименьшее значение выражения 2sin^5(x)+3cos^5(x),если x удовлетворяет равенству (sin(x)-1)^2-cos^3(x)=0
Ответы
Ответ:
2
Пошаговое объяснение:
Попробуем сначала решить уравнение
(sin x - 1)^2 - cos^3(x) = 0
sin^2(x) - 2sin x + 1 - cos^3(x) = 0
Поменяем все знаки и вставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
cos^3(x) - (1 - cos^2(x)) + 2sin x - 1 = 0
cos^3(x) + cos^2(x) + 2sin x - 2 = 0
cos^3(x) + cos^2(x) = 2 - 2sin x = 2(1 - sin x)
Такое равенство возможно только в двух случаях:
А)
{ sin x = 0
{ cos x = cos^2(x) = cos^3(x) = 1
В этом случае получаем верное равенство:
1 + 1 = 2(1 - 0)
Решение этой системы
x = 2Π*k, k € Z
Тогда наше выражение равно
2sin^5(x) + 3cos^5(x) = 2*0 + 3*1 = 3
Б)
{ cos x = cos^2(x) = cos^3(x) = 0
{ sin x = 1
В этом случае также получаем верное равенство:
0 + 0 = 2(1 - 1)
Решение этой системы
x = Π/2 + 2Π*k, k € Z
Значение нашего выражения
2sin^5(x) + 3cos^5(x) = 2*1 + 3*0 = 2
Решение Б) меньше.