Question

Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Answer 1

Точка O равноудалена от вершин (т.к. является центром описанной окружности) и от сторон (т.к. является центром вписанной окружности). Прямоугольные треугольники, образованные радиусами, равны по катету и гипотенузе.

OA=OB=OC, OA1=OB1=OC1

AOC1 =BOC1 =... =AOB1 (по катету и гипотенузе)

AC1 =BC1 =... =AB1

AB =BC =CA