Question

Решить вопрос о сходимости ряда:
Ряд сходится абсолютно
Ряд сходится условно
Ряд расходится.

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^4}$

1) Ряд знакочередующийся

2) $(\dfrac{1}{n^4})'=\dfrac{-4}{n^5}<0$ - члены ряда убывают по модулю.

3) $lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n^4}=0$

Значит ряд сходится по признаку Лейбница.

Ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^4}\to$ по степенному признаку.

Значит $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^4}$ сходится абсолютно