Question

1+cos4x-2cos^2(x-270)=0, если 0<х<100

Answer 1

$1+cos4x-2cos^2(x-270^\circ )=0\; \; ,\; \; 0^\circ <x<100^\circ \\\\\star \; \; cos(x-270^\circ )=cos(270^\circ -x)=-sinx\; \; ,\; (-sinx)^2=sin^2x\; \; \star \\\\1+cos4x-2\, sin^2x=0\\\\\star \; \; 1+cos4x=2\, cos^22x\; \; ,\; \; tak\; kak\; \; \; cos^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}\; \; \star \\\\2\, cos^22x-2\, sin^2x=0\\\\2\cdot (\underbrace {cos^2x}_{1-sin^2x}-sin^2x)^2-2sin^2x=0\\\\2\cdot (1-2sin^2x)^2-2\, sin^2x=0\\\\2\cdot (1-4sin^2x+4sin^4x)-2sin^2x=0\; |:2\\\\1-5sin^2x+4sin^4x=0$

$4\, (sin^2x)^2-5\, sin^2x+1=0\\\\t=sin^2x\geq 0\; ,\; \; 4t^2-5t+1=0\; \; ,\; \; D=25-16=9\; ,\\\\t_1=\frac{1}{4}\geq 0\; \; ,\; \; t_2=1\geq 0\\\\a)\; \; sin^2x=\frac{1}{4}\; ,\; \; \frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{4}\; \; ,\; \; 1-cos2x=\frac{1}{2}\; ,\; \; cos2x=\frac{1}{2}\\\\2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\; \; ,\; \; 2x=\pm 60^\circ +360^\circ n\; ,\; \; x=\pm 30^\circ +180^\circ n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; sin^2x=1\; ,\; \; \frac{1-cos2x}{2}=1\; ,\; \; 1-cos2x=2\; ,\; \; cos2x=-1\; ,$

$2x=\pi +2\pi k\; \; ,\; \; 2x=180^\circ +360^\circ k\; \; ,\; \; x=90^\circ +180^\circ k\; ,\; k\in Z\\\\c)\; \; x\in (0^\circ ,100^\circ )\, :\; \; x=30^\circ \; .\\\\d)\; \; x\in [\; 0^\circ ,100^\circ \, ]\, :\; \; x=30^\circ \; ,\; 90^\circ \; .\\\\Otven:\; \; a)\; \left [ {{x=\pm 30^\circ +180^\circ n\; ,\; n\in Z} \atop {x=90^\circ +180^\circ k\; ,\; k\in Z\; ,}} \right. \; b)\; \; x\in (0^\circ ,100^\circ ):\; x=30^\circ \; .\\\\d)\; x\in [\; 0^\circ ,100^\circ \, ]\, :\; \; x=30^\circ \; ,\; 90^\circ \; .$