Question

Квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня .Оказалось ,что для любых чисел a иb верно неравенство f(a² + b²) больше или равно f(2ab).Докажите ,что хотябы один из корней этого трёхчлена отрицательный

Answer 1

Объяснение:

пусть этот трехчлен можно представить как

$k {x}^{2} + mx + n$

тогда получаем неравенство:

$k {( {a}^{2} + {b}^{2} )}^{2} +m ( {a}^{2} + {b}^{2} ) + n \geqslant k {(2ab)}^{2} +m ( 2ab) + n \\ k({( {a}^{2} + {b}^{2} )}^{2} - {(2ab)}^{2}) + m(( {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab ) \geqslant 0 \\ k( {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab)( {a}^{2} + {b}^{2} + 2ab) + m {(a + b)}^{2} \geqslant 0 \\ k{(a - b)}^{2}{(a + b)}^{2} + m{(a + b)}^{2} \geqslant 0 \\ k{(a - b)}^{2} + m\geqslant 0$

так как неравенство должно выполняться при любых a и b, то k > 0 и m>0

по теореме Виета:

$\frac{m}{k} = - (x_{1} + x_{2}) \\ m = - k(x_{1} + x_{2})$

подставляем в неравенство:

$k{(a - b)}^{2} - k(x_{1} + x_{2}) \geqslant 0\\ k((a - b)}^{2} -x_{1} - x_{2})\geqslant 0 \\ (a - b)}^{2} \geqslant x_{1} + x_{2}</p><p>$

что бы равенство выполнялось при любых a и b, сумма корней должна быть меньше или равна 0, а так как корни различны и не могут быть оба равны нулю, нужно что бы хотя бы один из корней был меньше 0