Question

Найти частное решение (подробный ответ )

Answer 1

$1)\; \; y'\cdot cosx=\frac{y}{lny}\; ,\; \; y(0)=1\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{y}{lny}\; \; \to \; \; \; \int \frac{lny\cdot dy}{y}=\int dx\\\\\int lny\cdot d(lny)=\int dx\\\\\frac{ln^2y}{2}=x+C\; \; ,\; \; \underline {ln^2y=2x+C_1}\; \quad (C_1=2C)\\\\y(0)=1:\; \; ln^21=2\cdot 0+C_1\; \; ,\; \; C_1=0\\\\\boxed {ln^2y=2x}$

$2)\; \; dy\cdot x^3=3x^2y\cdot dx\; \; ,\; \; y(e)=1\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{3x^2\cdot dx}{x^3}\; \; ,\; \; \; \int \frac{dy}{y}=3\int \frac{dx}{x}\; ,\\\\ln|y|=3ln|x|+ln|C|\\\\\underline{y_{obshee}=C\cdot x^3}\\\\y(e)=1:\; \; 1=C\cdot e^3\; \; ,\; \; C=\frac{1}{e^3}\\\\\boxed {y_{chastnoe}=\frac{x^3}{e^3}}$

$3)\; \; \frac{dy}{y}=(x-1)\, dx\; \; (y\ne 0)\; \; ,\; \; y(2)=5\\\\\int \frac{dy}{y}=\int (x-1)\, dx\\\\ln|y|=\frac{(x-1)^2}{2}+C\; \; ,\; \; \; \underline {y_{obshee}=\pm e^{\frac{(x-1)^2}{2}+C}}\\\\y(2)=5:\; \; ln5=\frac{(2-1)^2}{2}+C\; \; ,\; \; ln5=\frac{1}{2}+C\; \; ,\; \; C=ln5-\frac{1}{2}\\\\ln|y|=\frac{(x-1)^2}{2}+ln5-\frac{1}{2}\; \quad  ili\; \; \; \boxed {y_{chastnoe}=\pm e^{\frac{(x-1)^2}{2}}\cdot \frac{5}{\sqrt{e}}}$