Question

Докажите, что функция f(x) = -2x +cosx убывает на промежутке R

Answer 1

$f(x)=-2x+\cos x$

Найдем производную функции:

$f'(x)=-2-\sin x$

Оценим производную:

$-1\leq \sin x\leq 1\\-1\leq -\sin x\leq 1\\-1-2\leq -2-\sin x\leq 1-2\\-3\leq -2-\sin x\leq -1$

Производная принимает лишь отрицательные значения. Но если производная на некотором интервале принимает только отрицательные значения, то сама функция убывает на этом интервале.

Поскольку производная отрицательна на промежутке R, то функция убывает на промежутке R.