Question

Найти пределы, даю 100б

Answer 1

Ответ:

Пусть сначала x --> +∞:

$\lim_{x \to +\infty} (\frac{2x+1}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to +\infty} (2*(\frac{x+\frac{1}{2}}{x-1} ))^{x}=\\\\=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*(\frac{x-1+1+\frac{1}{2}}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*(\frac{x-1+\frac{3}{2}}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{x-1+1}=$

$=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{x-1}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )=\\\\=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*((1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{\frac{x-1}{\frac{3}{2}} })^{\frac{3}{2}}}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )=\lim_{x \to +\infty} 2^{x}*(e^{\frac{3}{2}}*(1+0))=e^{\frac{3}{2}}*\lim_{x \to +\infty} 2^{x}=+\infty$

Пусть теперь x --> -∞:

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{2x+1}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to -\infty} (2*(\frac{x+\frac{1}{2}}{x-1} ))^{x}=\\\\=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*(\frac{x-1+1+\frac{1}{2}}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*(\frac{x-1+\frac{3}{2}}{x-1} )^{x}=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{x-1+1}=$

$=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{x-1}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )=\\\\=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*((1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )^{\frac{x-1}{\frac{3}{2}} })^{\frac{3}{2}}}*(1+\frac{\frac{3}{2}}{x-1} )=\lim_{x \to -\infty} 2^{x}*(e^{\frac{3}{2}}*(1+0))=e^{\frac{3}{2}}*\lim_{x \to -\infty} 2^{x}=e^{\frac{3}{2}}*0=0$