Question

помогите решить с 17.14 по 17.18​

Answer 1

17.14

Сумма всех членов убывающей г.п. $S_n=\frac{b_1}{1-q}$.

1) каждый членв 2,5 раза больше суммы всех последующих членов. То есть, первый член в 2,5 раза больше суммы всех членов, начиная со второго. Эта сумма равна $S_n-b_1=\frac{b_1}{1-q}-b_1=\frac{b_1-b_1+b_1q}{1-q}=\frac{b_1q}{1-q}$

Тогда по условию

$b_1=2,5\cdot\frac{b_1q}{1-q}\\\frac{2,5q}{1-q}=1\\2,5q=1-q\\3,5q=1\\q=\frac1{3,5}=\frac{10}{35}=\frac27$

2) аналогично:

$b_1=4\cdot\frac{b_1q}{1-q}\\4q=1-q\\5q=1\\q=\frac15$

17.15 Составим по условиям задачи систему уравнений и решим её

$\begin{cases}S_n-b_1=16\\b_1+b_2=24\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{b_1}{1-q}-b_1=16\\b_1+b_1q=24\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{b_1q}{1-q}=16\\b_1(1+q)=24\end{cases}\Rightarrow\\\\\Rightarrow\begin{cases}b_1=\frac{16\cdot(1-q)}q\\\frac{16\cdot(1-q)}q\cdot(1+q)=24\end{cases}\\\\\frac{16\cdot(1-q)}q\cdot(1+q)=27\\\frac{16\cdot(1-q^2)}q=24\\16-16q^2=24q\\16q^2+24q-16=0\;\;\;\div8\\2q^2+3y-2=0\\D=9-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25\\q_{1,2}=\frac{-3\pm5}4\\q_1=\frac12\\q_2=-2$

Второй корень не подходит, т.к. прогрессия убывающая.

$\begin{cases}b_1=16\\q=\frac12\end{cases}$

Тогда

$b_8=b_1\cdot q^7=16\cdot\left(\frac12\right)^7=2^4\cdot2^{-7}=2^{-3}=\frac18$

17.16 (см. рис.)

Сторона второго квадрата по теореме Пифагора будет равна

$\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2$

Сторона третьего квадрата:

$\sqrt{\left(2\sqrt2\right)^2+\left(2\sqrt2\right)^2}=\sqrt{4\cdot2+4\cdot2}=\sqrt{4\cdot4}=2\cdot2=4$

То есть $\frac{4\sqrt2}8=\frac4{4\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$ - знаменатель прогрессии.

Длины сторон квадратов составляют геометрическую прогрессию.

Тогда их периметры составляют г.п. с первым членом 8*4 = 32 и знаменателем $\frac1{\sqrt2}$, а площади - г.п. с первым членом 8*8 = 64 и знаменателем $\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2=\frac12$

Тогда сумма периметров:

$S_{Pn}=\frac{32}{1-\frac1{\sqrt2}}=\frac{32\sqrt2}{\sqrt2-1}$

сумма площадей:

$S_{S-n}=\frac{64}{1-\frac12}=64\cdot2=128$

17.17

Аналогично 17.16. Сторона каждого последующего треугольника в два раза меньше, знаменатель 1/2.

Периметры - г.п. с первым членом 24 и знаменателем 1/2, площади - г.п. с первым членом $\frac{\sqrt3}4\cdot8^2=\frac{\sqrt3}4\cdot64=16\sqrt3$ и знаменателем 1/4.

Сумма периметров:

$S_{Pn}=\frac{24}{1-\frac12}=24\cdot2=48$

Сумма площадей:

$S_{S_n}=\frac{16\sqrt2}{1-\frac14}=\frac{4\cdot16\sqrt2}{3}=\frac{64\sqrt2}3$

17.18

В равностороннем треугольнике все высоты равны. Их длина $\frac{\sqrt3}2a,$ где a - сторона треугольника.

Значит, стороны второго треугольника равны $\frac{\sqrt3}2\cdot16=8\sqrt3$,

стороны третьего $\frac{\sqrt3}2\cdot8\sqrt3=4\cdot3=12$

Найдём соотношения сторон второго и первого, а также третьего и второго треугольников:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{8\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}2\\\\\frac{a_3}{a_2}=\frac{12}{8\sqrt3}=\frac3{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2$

Таким образом, длины сторон треугольников составляют г.п. с первым членом 16 и знаменателем $\frac{\sqrt3}2$.

Тогда и периметры треугольников составляют г.п. с первым членом 16*3 = 48 см и знаменателем $\frac{\sqrt3}2$.

$S_{P_n}=\frac{48}{1-\frac{\sqrt3}2}=\frac{96}{2-\sqrt3}$