Даны вершины A(-1;1) B(7;5) C(4;11)
Найти:
1)Длину стороны AB;
2)площадь треугольника ABC;
3)уравнение AB;
4)уравнение высоты,проведенной из вершины C;
5)длину высоты,проведенной из вершины С;
6)уравнение медианы,проведенной из вершины С;
7)длину медианы,проведенной из вершины C;
8)уравнение биссектрисы внутреннего угла A;
9)угол A в радианах с точностью до 0,01;
10)точку пересечения высот треугольника;
11)систему неравенств,определяющих треугольник ABC.
Сделать чертеж
Ответы
Даны вершины A(-1;1) B(7;5) C(4;11)
1) Длина стороны AB = √((7+1)² + (5-1)²) = √(64 + 16) =√80 = 4√5;
2) Площадь треугольника ABC. Вектор АВ =(8; 4), вектор АС = (5; 10).
Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:
i j k | i j
8 4 0 | 8 4
5 10 0 | 5 10 = 0i + 0j + 80k -0j - 0i - 20k = 60k/
S = (1/2)*60 = 30 кв.ед.
3) Уравнение AB определяем по точке А(-1; 1) и вектору АВ =(8; 4).
(x + 1)/8 = (y - 1)/4 это каноническое уравнение,
у = 0,5х + 1,5 с угловым коэффициентом.
4) Уравнение высоты СН,проведенной из вершины C.
к(СН) = (-1)/к(АВ) = -1/(1/2) = -2.
Уравнение имеет вид у = -2х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки С: 11 = -2*4 + в, отсюда в = 19.
Уравнение СН: у = -2х + 19
5) Длину высоты,проведенной из вершины С можно определить, найдя координаты точки Н как точки пересечения АВ и СН.
0,5х + 1,5 = -2х + 19,
2,5х = 17,5,
х = 17,5/2,5 = 7, у = 0,5*7 + 1,5 = 5.
Точка Н(7; 5).
Длина СН = √((7-4)² + (5-11)²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 ≈ 6,7082.
6) Уравнение медианы СМ,проведенной из вершины С.
Точка М = ((-1+7)/2=3; (1+5)/2=3) = (3; 3).
Вектор СМ = (3-4=-1; 3-11=-8) = (-1; -8).
Уравнение СМ: (x - 4)/(-1) = (y - 11)/(-8).
7) Длина медианы,проведенной из вершины C равна модулю вектора СМ = √1 + 64) = √65 ≈ 8,0623.
8) Уравнение биссектрисы CC3 внутреннего угла A;
|АС| = √(25 + 100) = 5√5. |BС| = √(9 + 36) = 3√5.
λС = АС / ВС = 1,6667.
С₃ = Ха+λС*Хв Уа+λС*Ув = (4 ; 3,5).
1+λС 1+λС
Уравнение CC₃ x + y - 4 = 0 .
9) Угол A в радианах с точностью до 0,01.
cos A= АВ²+АС²-ВС² = 0,8.
2*АВ*АС
A = 0,643501109 ≈ 0,64 радиан
A = 36,86989765 градусов
10) Точку О пересечения высот АН и АА2 треугольника;
Точка пересечения высот - Н
у = к* х + в АН:
у = 0,5 х + 1,5
у = к* х + в ВВ₂:
у = -0,5 х + 8,5
Точка О
x = y =
7 5
11)систему неравенств,определяющих треугольник ABC.
x y
т.С 4 11 АВ : -30 < 0
т.А -1 1 ВС : -30 < 0
т.В 7 5 АС : 60 > 0