Question

Про четырёхугольник ABCD известно, что ∠DAC=22∘, ∠CAB=55∘, ∠ACD=68∘, ∠ACB=35∘. Точка M — середина диагонали AC. Найдите величину угла DBM.

Answer 1

• Сумма внутренних улов треугольника равна 180°.

Рассмотрим ΔABC:

∠CAB = 55°;  ∠ACB = 35°;

∠ABC = 180°-(∠CAB+∠ACB) = 180°-(55°+35°) = 180°-90° = 90°.

Рассмотрим ΔADC:

∠DAC = 22°;  ∠ACD = 68°;

∠ADC = 180°-(∠DAC+∠ACD) = 180°-(22°+68°) = 180°-90° = 90°.

ΔABC и ΔADC прямоугольные.

• В прямоугольном треугольнике медиана проведённая к гипотенузе равна её половине.

M - середина AC, поэтому BM - медиана ΔABC; DM - медиана ΔADC.

2·BM = AC;

2·DM = AC;

BM = MC = MD.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

ΔBMC - равнобедренный (BM=MC), BC - основание;

∠MBC = ∠BCM = 35°;

∠CMB = 180°-2·∠BCM = 180°-2·35° = 180-70° = 110°.

ΔDMC - равнобедренный (MC=MD), DC - основание;

∠MDC = ∠DCM = 68°;

∠DMC = 180°-2∠DCM = 180°-2·68° = 180°-136° = 44°.

∠DMB = ∠CMB+∠DMC = 110°+44° = 154°.

ΔDMB - равнобедренный (BM=MD), BD - основание;

∠DBM = ∠BDM = (180°-∠DMB):2 = (180°-154°):2 = 26°:2 = 13°.

Ответ: 13°.