Question

Условие и и вопрос на рисунке!!! С полным оформлением!!!

Answer 1

Ответ:

a∈(-8; 5]

Объяснение:

f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+|1,5·x²+4,5·x -6|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+ 1,5·|x² +3·x -4|+a

Рассмотрим выражение под знаком модуля:

x² +3·x -4=0

D=3² - 4·1·(-4)= 9+16=25=5²

x₁=(-3-5)/2= -4

x₂=(-3+5)/2=1

Тогда M=x² +3·x -4=(x - 1)·(x + 4) и определим интервалы знако-постоянства:

M:          -·-=+              0          -·+=-            0                     +·+=+

-∞ --------[-100]---------[-4]--------[0]-----------[1]----------------[100]------------>+∞

1) Рассмотрим интервал (-∞; -4): (x - 1)·(x + 4)>0

f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·(x² +3·x -4)+a=

= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·x² +4,5·x -6+a= -9·x -31 +a

2) Рассмотрим интервал (-4; 1): (x - 1)·(x + 4)<0

f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25-1,5·(x² +3·x -4)+a=

= -1,5·x²-13,5·x-25-1,5·x² -4,5·x +6+a= -3·x²-18·x -19 +a

3) Рассмотрим интервал (1; +∞): (x - 1)·(x + 4)>0

f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·(x² +3·x -4)+a=

= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·x² +4,5·x -6+a= -9·x -31 +a

Заданная функция имеет вид:

$f(x)=\left \{ \begin{array}{ccc}-9x-31+a, -\infty < x \leq  -4\\ -3x^{2} -18x-19+a, -4 < x < 1 \\ -9x-31+a, 1\leq x < +\infty\end{array}\right$

1. Прямая y= -9x-31+a, определённая на x∈[-∞; -4] ∪ [1; +∞), может пересекаться с осью абсцисс только в одной точке. Определим абсциссу этой точки

-9x-31+a=0 ⇔ -9x= 31-a ⇔ x = (a-31)/9

По виду функции

x = (a-31)/9≤-4 или x = (a-31)/9≥1

Отсюда а ≤ 5 или а ≥ 40: а ∈[-∞; 5] ∪ [40; +∞).

2. Парабола y= -3·x²-18·x -19+a, определённая на x∈(-4 ;1 ), может пересекаться с осью абсцисс

а) в одной точке, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен 0. Тогда абсциссу этой точки

x= -18/(2·(-3)=3.

Но x=3∉(-4 ;1 ), что означает такой случай невозможен.  

б) в двух точках, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения больше 0.

D= (-18)² - 4·(-3)·(-19+a)>0

324 + 12·(a-19)>0

27+a-19>0

a> - 8

Тогда абсциссы таких точек имеют вид

$x_{1}=\frac{18-\sqrt{a+8} }{2*(-3)} = -3+\frac{\sqrt{a+8} }{6}\\x_{2}=\frac{18+\sqrt{a+8} }{2*(-3)} = -3-\frac{\sqrt{a+8} }{6}$

Остается проверит условие принадлежности x∈(-4 ;1 ):

$-4<x_{1}< 1\\ -4<-3+\frac{\sqrt{a+8} }{6}<1\\-1<\frac{\sqrt{a+8} }{6}<4\\-6<\sqrt{a+8}<24, (\sqrt{a+8}\geq 0)\\\sqrt{a+8}<24\\a+8<576\\a<568$

$-4<x_{2}< 1\\ -4<-3-\frac{\sqrt{a+8} }{6}<1\\-1<-\frac{\sqrt{a+8} }{6}<4\\-24<\sqrt{a+8}<6, (\sqrt{a+8}\geq 0)\\\sqrt{a+8}<6\\a+8<36\\a<28$

Значит, если a> - 8 и a<568 и a<28 имеет место пересечение в двух точках. Отсюда а∈(-8; 28).

По условию функция должна пересекаться с осью абсцисс не менее 3 точках. Поэтому рассмотрим пересечение множества [-∞; 5] ∪ [40; +∞) для прямой и множества (-8; 28) для параболы:

([-∞; 5] ∪ [40; +∞)) ∩ (-8; 28) = (-8; 5]