Question

Найти интеграл,используя основные методы интегрирования
$\int\limits{\frac{x^{3}+2x }{x^{2} +4} } \, dx$

Answer 1

Пусть $x^{2}+4=u$; Тогда $2x=\frac{du}{dx}\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2x}$; Можно переписать интеграл: $\int \frac{x^{3}+2x}{x^{2}+4}dx=\int\frac{x(x^{2}+2)}{x^{2}+4}dx$. С заменой: $\int \frac{x(u-2)}{u}\frac{du}{2x}=\frac{1}{2}\int\frac{u-2}{u}du=\frac{1}{2}(u-2\ln u)+\textbf{C}$; Обратно к замене: $\frac{1}{2}(x^{2}+4-2\ln (x^{2}+4))+\textbf{C}=\frac{x^{2}+4}{2}-\ln(x^{2}+4)+\textbf{C}$