Question

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Answer 1

Пусть $y=e^{kx}$, получаем характеристическое уравнение

$k^3-k^2=0\\ k^2(k-1)=0\\ k_{1,2}=0\\ k_3=1$

Общее решение линейного однородного диф. уравнения:

$y=C_1+C_2x+C_3e^x$

$y'=\Big(C_1+C_2x+C_3e^x\Big)'=C_2+C_3e^x\\ \\ y''=\Big(C_2+C_3x\Big)'=C_3$

Подставив начальные условия, найдем константы $C_1,C_2,C_3.$

$y''(0)=-1~~~\Rightarrow~~~ \boxed{C_3=-1}\\ \\ \displaystyle \left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=0}} \right. ~~\Rightarrow~~~\left \{ {{C_1+C_2\cdot 0+C_3e^0=0} \atop {C_2+C_3e^0=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2+C_3=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{C_1=0} \atop {C_2-1=0}} \right. ~~~\Leftrightarrow~~~ \boxed{\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=1}} \right. }$

Частное решение: $y=x-e^x$