Question

Вычислить неопределённый интеграл (x-1)/(x^2-2x+2)(фото с интегралом приложено)

Answer 1

$\int \frac{x-1}{x^2-2x+2}\, dx=\int \frac{(x-1)\, dx}{(x-1)^2+1}=[\; t=x-1\; ,\; dx=dt\; ]=\int \frac{t\, dt}{t^2+1}=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1}=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2-2x+2)+C$

Answer 2

Перепишем подынтегральное выражение: $\frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}$; Сделав замену $u=x-1$, перепишем интеграл: $\int \frac{u}{u^{2}+1}du$; Рассмотрим треугольник с катетами $u$ и 1 и гипотенузой $\sqrt{u^{2}+1}$; Подынтегральное выражение теперь можно записать как $\frac{u\times1}{\sqrt{u^{2}+1}\sqrt{u^{2}+1}} =\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\times \frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}$; Или в терминах одного из углов того треугольника: $\sin\theta\cos\theta$; Осталось только переписать дифференциал через $\theta$. Имеем: $\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}=\sin\theta,\; \theta=\arcsin \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}$; Откуда $\frac{d\theta}{du}=\frac{1}{1+u^{2}} =\cos^{2}\theta \Leftrightarrow du=\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}$; Получаем интеграл: $\int \sin\theta\cos\theta\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}=\int \tan\theta d\theta =-\ln\cos\theta+\textbf{C}$; Замена к u: $-\ln(\cos\arcsin( \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}))=-\ln(\sqrt{\frac{1}{u^{2}+1} })$; Наконец, замена к x: $-\ln(\sqrt{\frac{1}{(x-1)^{2}+1} })=-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{x^{2}-2x+2})=\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)$

Ответ:

$\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)+\textbf{C}$