Question

Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=√x, x0=1

Answer 1

Ответ:

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

Касательной будет прямая

у = kx + b

где k - равен значению производной в точке касания.

1) f(x) = √(x); x0 = 1 =>

=> y(x0) = y(1) = √1 = 1

То есть точка касания имеет координаты (1;1)

2) Найдем f'(x)

$f'(x) = ( \sqrt{x}) ' = (x {}^{ \frac{1}{2} } ) ' \\ f'(x) = \frac{1}{2} \times {x}^{ \frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

3) Найдем f'(x0)

$f'(x_{0}) = \: f'({1}) \\ f'(x_{0}) = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}} } = \frac{1}{2 \sqrt{1} } = \frac{1}{2}$

4) То есть уравнение касательной будет вида

$y = \frac{x}{2} + b$

Так

Т к. прямая касается графика ф-ии в точке (1;1), получаем:

$y = \frac{x}{2} + b \\ y(1) = 1 = > \frac{1}{2} + b = 1 = > b = 1 - \frac{1}{2} \\ = > b = \frac{1}{2}$

а значит уравнение касательной будет таким:

$y = kx + b; \\ k = \frac{1}{2}; \: \: b = \frac{1}{2} \\ \\ y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$